Simultánne modely

Cieľom využitia simultánnych modelov počas ekonometrického modelovania je riešiť situáciu, keď klasický jednorovnicový model nestačí.

Pri simultánnych modeloch vzniká endogenita (premenné sa navzájom ovplyvňujú), preto bežná metóda MNŠ (OLS) zvyčajne nedáva spoľahlivé odhady.

Ak existuje niekoľko endogénnych premenných, ktoré vystupujú v úlohe tak vysvetľujúcich ako aj vysvetľovaných premenných, súčasne determinované sústavou lineárnych či nelineárnych vzťahov, hovoríme o ekonometrickom modeli simultánnych rovníc (EMSR).

• aspoň jedna rovnica obsahuje viac ako jednu endogénnu premennú
• celkový počet endogénnych premenných je rovný počtu rovníc
• v EMSR existujú spätné väzby medzi endogénnymi premennými časovo neoneskorenými
• MNŠ (až na špeciálne prípady) neposkytuje nestranné ani konzistentné odhady parametrov

Príklad

Je daný jednoduchý makroekonomický model simultánnych rovníc (MSR). Zostavte štrukturálnu formu, interpretačný zápis, kvantifikačný zápis a redukovanú formu modelu. Zistite, či je možný jednoznačný výpočet parametrov štrukturálnej formy modelu z redukovanej formy modelu.

Ct = a0 + a1*Yt + a2*Ct-1 + ut1
Yt = b0 + b1*It + b2*Mt  + ut2
It = c0 + c1*rt + c2*It-1 + ut3
Gt = Yt − Ct − It

Ct je konečná spotreba v období t, Yt je HDP v období t, It sú hrubé investície v období t, rt je úroková miera v období t, Mt je ponuka peňazí v období t a Gt sú vládne výdavky v období t.

Riešenie v R

V prvom rade je dôležité rozdeliť premenné na endogénne, exogénne, časovo posunuté a predeterminované.

• Endogénne premenné – všetky premenné na ľavej strane rovníc: Ct, Yt, It, Gt.
• Exogénne premenné – premenné, ktoré vstupujú ako vysvetľujúce: Mt, rt a LK (lokujúca konštanta/absolútny člen).
• Časovo posunuté premenné – lagy: Ct-1, It-1.
• Predeterminované premenné – všetky exogénne + časovo posunuté endogénne: Mt, rt, LK, Ct-1, It-1.

Rovnice si ešte môžeme rozdeliť na stochastické a identity. Identita nemá náhodnú zložku, preto sa neodhaduje regresiou.

Stochastické rovnice:
Ct = a0 + a1*Yt + a2*Ct-1 + ut1
Yt = b0 + b1*It + b2*Mt  + ut2
It = c0 + c1*rt + c2*It-1 + ut3

Identita (bilančná rovnica):
Gt = Yt − Ct − It

Štrukturálna forma

Štrukturálnu formu zostavíme tak, že v každej stochastickej rovnici odhadneme parametre. V prostredí R na to použijeme knižnicu systemfit.

Keďže sa v modeli nachádzajú aj časovo posunuté premenné, aby boli dáta konzistentné, pracujeme od druhého pozorovania (t. j. od momentu, keď existuje Ct-1 a It-1).

1) Príprava dát:

Ct  <- c(167.5,156.2,167.2,169.8,188.8,186.5,195.7,187.6,203.6)
Yt  <- c(321.8,345.2,334.4,319.9,343,367.9,350.3,339.1,360.7)
Ct1 <- c(144.1,167.5,156.2,167.2,169.8,188.8,186.5,195.7,187.6)

It  <- c(3.14,3.43,3.41,3.31,3.12,3.11,3.02,2.96,2.93)
Mt  <- c(770.2,792.7,876.4,856.6,888.1,959.8,1012.3,1014.3,1053.9)
rt  <- c(2.05,2.89,2.85,1.24,2.8,3.36,2.48,2.11,1.17)
It1 <- c(2.81,3.14,3.43,3.41,3.31,3.12,3.11,3.02,2.96)

2) Definovanie systému rovníc:

system <- list(
  rovnica1 = Ct ~ Yt + Ct1,
  rovnica2 = Yt ~ It + Mt,
  rovnica3 = It ~ rt + It1
)

3) Odhad (OLS) pomocou systemfit:

library(systemfit)
systemfit(system, "OLS")

Výsledok (koeficienty):

rovnica1: (Intercept)  22.1711564
         Yt           0.1845999
         Ct1          0.5464803

rovnica2: (Intercept)  187.8270240
         It           13.8588376
         Mt           0.1213295

rovnica3: (Intercept)  1.4680731
         rt           0.0490185
         It1          0.5012506

Štrukturálny tvar:

Ct = 22.1712 + 0.1846*Yt + 0.5465*Ct-1 + ut1
Yt = 187.8270 + 13.8588*It + 0.1213*Mt + ut2
It = 1.46807 + 0.04902*rt + 0.50125*It-1 + ut3
Gt = Yt − Ct − It

Interpretačná forma

Interpretačná forma vznikne zo štrukturálnej formy tak, že všetky členy okrem náhodnej zložky presunieme na ľavú stranu. Zostavuje sa tak, že najskôr uvádzame endogénne premenné a potom predeterminované premenné.

Interpretačná forma:

1*Ct − 0.1846*Yt + 0*It + 0*Gt + 0*rt + 0*Mt − 0.5465*Ct-1 + 0*It-1 − 22.1712 = 1*ut1
0*Ct + 1*Yt − 13.8588*It + 0*Gt + 0*rt − 0.1213*Mt + 0*Ct-1 + 0*It-1 − 187.8270 = 1*ut2
0*Ct + 0*Yt + 1*It + 0*Gt − 0.04902*rt + 0*Mt + 0*Ct-1 − 0.50125*It-1 − 1.46807 = 1*ut3
1*Ct − 1*Yt + 1*Gt + 0*rt + 0*Mt + 0*Ct-1 + 0*It-1 + 0 = 0*ut4

Kvantifikačný tvar

Kvantifikačný tvar je daný vzťahom YA + XB = U, kde:

• Y – matica pozorovaní endogénnych premenných
• X – matica pozorovaní predeterminovaných premenných
• A – matica parametrov endogénnych (neosoneskorených) premenných
• B – matica parametrov predeterminovaných premenných
• U – matica náhodných zložiek

Matica Y:

Ct	Yt	It	Gt
144,1	302,2	2,81	3,39
167,5	321,8	3,14	4,04
156,2	345,2	3,43	7,34
167,2	334,4	3,41	7,95
169,8	319,9	3,31	2,43
188,8	343	3,12	6,50
186,5	367,9	3,11	10,24
195,7	350,3	3,02	6,92
187,6	339,1	2,96	4,93
203,6	360,7	2,93	3,90

Matica X:

rt	Mt	Ct-1	It-1	LK
1,84	731,4	-	-	1
2,05	770,2	144,1	302,2	1
2,89	792,7	167,5	321,8	1
2,85	876,4	156,2	345,2	1
1,24	856,6	167,2	334,4	1
2,8	888,1	169,8	319,9	1
3,36	959,8	188,8	343	1
2,48	1012,3	186,5	367,9	1
2,11	1014,3	195,7	350,3	1
1,17	1053	187,6	339,1	1

Matica A:

1	0	0	1	Ct
-0,1846	1	0	-1	Yt
0	-13,8588	1	1	It
0	0	0	1	Gt

Matica B:

0	0	-0,04902	0	rt
0	-0,1213	0	0	Mt
-0,5465	0	0	0	Ct-1
0	0	-0,50125	0	It-1
-22,1712	-187,8270	-1,46807	0	LK

Identifikácia viacrovnicových modelov

Identifikácia viacrovnicových modelov je kľúčová pri výbere vhodnej metódy odhadu parametrov. V praxi sa používa rozmerová skúška, ktorú zapisujeme:

K − k = g − 1, kde K je počet všetkých predeterminovaných premenných, k je počet predeterminovaných premenných v konkrétnej rovnici a g je počet endogénnych premenných v konkrétnej rovnici.

• ak K − k = g − 1 → rovnica je presne identifikovaná
• ak K − k > g − 1 → rovnica je preidentifikovaná
• ak K − k < g − 1 → rovnica je neidentifikovaná (nedostatočne identifikovaná)

Tabuľka identifikácie rovníc:

Rovnica	k	K	g	K − k vs. g − 1	Typ identifikácie
1. rovnica	5	2	2	3 > 1	Preidentifikovaná
2. rovnica	5	2	2	3 > 1	Preidentifikovaná
3. rovnica	5	2	1	2 > 0	Preidentifikovaná
4. rovnica	5	2	1	2 > 0	Presne identifikovaná

Záver:
Vo všeobecnosti je model taký dobrý, ako jeho najhoršia rovnica. V našom prípade je model preidentifikovaný, takže nie je možný jednoznačný výpočet parametrov štrukturálnej formy z redukovanej formy modelu.

Voľba odhadovej metódy pre kvantifikáciu parametrov

Konkrétna voľba odhadovej metódy je závislá od základných charakteristík modelu:

• tvar matice parametrov endogénnych časovo neoneskorených premenných A
• identifikácia modelu a rovníc (presná identifikácia, preidentifikácia, neidentifikácia)

Ak prihliadneme súčasne k obom charakteristikám, môžeme zostaviť jednoduché rozhodovacie schéma výberu vhodných metód odhadu.

• MNŠ – metóda najmenších štvorcov
• NMNŠ – nepriama metóda najmenších štvorcov
• MNŠp – metóda najmenších štvorcov postupne aplikovaná
• DMNŠ – dvojstupňová metóda najmenších štvorcov
• MMVOI – metóda maximálnej vierohodnosti s obmedzenými informáciami
• TMNŠ – trojstupňová metóda najmenších štvorcov

Odhad parametrov

Na odhad parametrov v prostredí R je vhodné použiť knižnicu systemfit. Obsahuje metódy pre OLS (JMNŠ), WLS, 2SLS, W2SLS, 3SLS a ďalšie.

Odhad parametrov pomocou dvojstupňovej metódy najmenších štvorcov (2SLS)

Najskôr zadefinujeme množinu inštrumentálnych (predeterminovaných) premenných:

inst <- ~ Ct1 + Mt + rt + It1

Potom vykonáme odhad parametrov:

systemfit(system, "2SLS", inst = inst)

Koeficienty (výstup):

rovnica1: (Intercept)  15.7726969
         Yt           0.2126387
         Ct1          0.5280346

rovnica2: (Intercept)  256.0768303
         It          -1.5146287
         Mt           0.0997859

rovnica3: (Intercept)  1.4680731
         rt           0.0490185
         It1          0.5012506

Záver

Výsledné rovnice s odhadnutými parametrami sú:

Ct = 15.7726969 + 0.2126387*Yt + 0.5280346*Ct-1 + ut1
Yt = 256.0768303 − 1.5146287*It + 0.0997859*Mt + ut2
It = 1.4680731 + 0.0490185*rt + 0.5012506*It-1 + ut3
Gt = Yt − Ct − It

Zdroje:
Ekonometrický model simultánnych rovníc [4.6.2015]
Hušek, R., Pelikán, J.: Aplikovaná ekonometria (teória a prax). Praha: Professional Publishing, 2003. ISBN 80-86419-29-0