Heteroskedasticita

Čo je heteroskedasticita?

Je to nekonštantnosť rozptylu náhodných porúch, a teda aj rezíduí. S týmto javom sa stretávame vtedy, keď dochádza k veľkým zmenám v hodnotách vysvetľujúcich premenných, ale aj v prípade, ak bola vynechaná podstatná premenná modelu. Opačný jav, konštantnosť rozptylu náhodných porúch, a teda aj rezíduí, sa nazýva homoskedasticita. Na testovanie homoskedasticity sa najčastejšie používa Goldfeldov-Quandtov test (ďalej už len: GQ test). Z iných testov spomeňme: Breuschov-Paganov, Bartlettov, Parkov, Gleicherov, Whiteov, Koenkerov test. Na príklade si ukážeme testovanie homoskedasticity pomocou prvých troch spomenutých testov v R-ku a ďalšie z nich budeme testovať v Gretli.

Postup GQ test

1. Usporiadame hodnoty vysvetľujúcej premennej X vzostupne.
2. Vynecháme prostredných  M pozorovaní.
3. Zostatok  rozdelíme do dvoch skupín po  pozorovaní (nepárne zaokrúhlime nadol).
4. Pre každú skupinu odhadneme parametre modelu JMNŠ a vypočítame rezíduá. Označíme S1 a S2 súčet štvorcov rezíduí v dolnej a hornej skupine.
5. Vypočítame GQ test podľa vzorca.

Formulujeme tieto hypotézy

1. H0: homoskedasticita
2. H1: heteroskedasticita

Odstraňovanie heteroskedasticity

1. Pomocu transformácie modelu (dát).

Transformácie

1.   σ² sú známe, pričom neplatí:

σ²₁= σ²=….= σ²_n
y_t = b₀+b₁X_t1+….+b_kX_tk+u_t
y_t/ σ² = b₀.1/ σ²+b₁.X_t1/ σ²+….+b_k.X_tk /σ²+u_t/ σ² 

- v maticovom vyjadrení modelu: y = Xb + ub^ = (X’X)^-1 X’Y
- transformácia: Wy = WXb + Wub^ = (X’W”WX)^-1 X’W‘Wy

2.   σ² sú neznáme, ale možno ich odhadnúť z výberu.

3.   H1: σ² = c.X²_th…… zodpovedá Goldfeld-Quandtov-mu testu

Y_t/X_ht=b₀.1/X_th+b₁.X_t1/X_th+….b_k.X_tk/X_th+u_t/X_th
cov(u_t*)=cov(u/X_th)=(1/X²_th).cov(u)=eXS²_th/X²_th=e -> homoskedasticita

Spätná transformácia dát b^ = (b’b)-1 X’y je výdatná a už neobsahuje heteroskedasticitu.

Niekedy sa odstránenie nepodarí po prvom kroku, ale až po niekoľkých krokoch.

Príklad:

Vzorový príklad s metódami na testovanie prítomnosti heteroskedasticity a jej odstranenie sa nachádza v tomto scripte.

Máme dané premenné: Yt, X_t, P_t. Na dátach modelu otestujte homoskedasticitu, v prípade prítomnosti heteroskedasticity sa pokúste o jej odstránenie. Predpokladajte, že heteroskedasticitu spôsobuje premenná Pt.

Riešenie:

Príprava programu a dát

1. K úspešnému vyriešeniu potrebujete mať v R naimportované potrebné knižnice.
   Ako pridám knižnice? 

   library(sem)
   library(zoo)
   library(lmtest)library(xlsReadWrite) (zadávame, ak používame načítanie dát z Excelu)
   xls.getshlib() (zadávame, ak používame načítanie dát z Excelu)

2. Načítanie dát.
   Dáta použité v tomto príklade nájdete tu: Odkazy na použité a reálne dáta
3. Zo vstupných údajov urobíte maticu.

4. mat=cbind(Yt,Xt,Pt)

5. Zadefinujete model.

6. model<-(Yt ~ Xt + Pt)

7. Regeresia- výpočet b₀, b₁, b₂.
8. 
   

   regresia<-lm(model)

Testovanie homoskedasticity

Na otestovanie homoskedasticity môžeme v R použiť jeden z nasledujúcich spôsobov:

     gqtest(regresia, order.by = Pt, fraction=2, data = mat)

bptest(regresia)

data<-list(Yt,Xt,Pt)

bartlett.test(data)

Yt1<-1

for (i in 1:16)
{
Yt1[i]<-(Yt[i]/Pt[i])
}

Xt1<-1

for (i in 1:16)
{
Xt1[i]<-(Xt[i]/Pt[i])
}

mat1 = cbind(Yt1, Xt1, Pt)
model1<-(Yt1 ~ Xt1 + Pt)
regresia1<-lm(model1)
gqtest(regresia1, order.by = Pt, fraction=2, data = mat1)